Vectores, Rectas y Planos

La geometría analítica en el espacio nos permite describir objetos geométricos como puntos, rectas y planos mediante ecuaciones. El concepto fundamental es el de vector, que es un segmento orientado con módulo, dirección y sentido.

1. Operaciones y Conceptos Vectoriales

Operaciones: Los vectores se pueden sumar y multiplicar por un escalar (un número), lo que nos permite crear combinaciones lineales.
Dependencia Lineal: Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. En $\mathbb{R}^3$, tres vectores son linealmente independientes si no son coplanarios (no están en el mismo plano), lo que se verifica si su determinante no es nulo.
Base: Un conjunto de vectores linealmente independientes que pueden generar cualquier otro vector del espacio se llama base. En $\mathbb{R}^3$, una base siempre tiene 3 vectores. La base más común es la base canónica: {$\vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0), \vec{k}=(0,0,1)$}.

2. Productos entre Vectores

Producto Escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$. Es un número. Sirve para calcular ángulos y proyecciones. Si el producto escalar es 0, los vectores son perpendiculares.
Producto Vectorial: $\vec{u} \times \vec{v}$. Es un vector perpendicular a ambos. Su módulo $|\vec{u} \times \vec{v}|$ es el área del paralelogramo que forman. Si es el vector nulo, son paralelos.
Producto Mixto: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$. Es un número. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

Diagrama que ilustra visualmente el producto escalar (proyección de un vector sobre otro) y el producto vectorial (el vector resultante perpendicular a los dos originales).

4. Ecuaciones de la Recta

Una recta queda definida por un punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\vec{v}=(v_x, v_y, v_z)$.

Forma Continua: $$ \frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z} $$

4. Ecuaciones del Plano

Un plano queda definido por un punto $P_0$ y un vector normal (perpendicular) $\vec{n}=(A,B,C)$.

Ecuación General o Implícita: $$ Ax+By+Cz+D=0 $$

Gráfico de un plano en 3D con su vector normal perpendicular a la superficie.

5. Posiciones Relativas

Estudiar las posiciones relativas entre rectas y planos (si se cortan, son paralelos o coinciden) se reduce a analizar el rango de las matrices formadas por los coeficientes de sus ecuaciones (usando el Teorema de Rouché-Fröbenius).

Álgebra y Geometría

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