Funciones y Límites

1. Funciones Reales

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto de partida (dominio) un único elemento de un conjunto de llegada (imagen). En matemáticas, las usamos para modelar relaciones entre variables.

Definición: Una función real de variable real $f$ es una correspondencia entre un subconjunto de $\mathbb{R}$, llamado dominio (Dom(f)), y otro subconjunto de $\mathbb{R}$, llamado imagen o recorrido (Im(f)), tal que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento de la imagen.

Dominios de las funciones más habituales

Funciones polinómicas: $f(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$. Su dominio es todo $\mathbb{R}$.
Funciones racionales: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$. El dominio son todos los reales excepto los que anulan el denominador ($Q(x)=0$).
Funciones irracionales: $f(x) = \sqrt[n]{g(x)}$. Si $n$ es impar, el dominio es el de $g(x)$. Si $n$ es par, el dominio exige que $g(x) \ge 0$.
Funciones logarítmicas: $f(x)=\log_a(g(x))$. El dominio exige que el argumento sea estrictamente positivo, $g(x)>0$.

2. Límite de una Función

La idea intuitiva de límite es el valor al que se aproxima una función cuando la variable $x$ se acerca a un punto concreto. Es la base del cálculo diferencial.

Definición (Epsilon-Delta): Una función $f$ tiene límite $L$ cuando $x$ tiende a $x_0$, y se denota $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, si para cualquier pequeño entorno de $L$ (definido por un $\epsilon > 0$), podemos encontrar un entorno de $x_0$ (definido por un $\delta > 0$) tal que las imágenes de los puntos de este último caen en el primero.

Límites Laterales y Asíntotas

Los límites laterales analizan el comportamiento de la función al acercarse a un punto por la izquierda o por la derecha. Para que el límite en un punto exista, ambos límites laterales deben existir y ser iguales.

Asíntota Vertical: En $x=x_0$, si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$.
Asíntota Horizontal: En $y=L$, si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.

Continuidad y Derivabilidad

1. Continuidad

Una función es continua en un punto si su gráfica no tiene "saltos". Formalmente, $f(x)$ es continua en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Teorema de Bolzano

Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y los signos de $f(a)$ y $f(b)$ son distintos, entonces existe al menos un punto $c$ en $(a,b)$ donde la función corta el eje X, es decir, $f(c)=0$.

2. Derivada de una Función

La derivada de una función en un punto, $f'(x_0)$, es la tasa de cambio instantánea. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

$$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. La regla de la cadena es esencial para derivar funciones compuestas: $(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$.

3. Aplicaciones de la Derivada

La derivada es una herramienta potentísima para estudiar el comportamiento de una función.

Monotonía: Si $f'(x) > 0$, la función es creciente. Si $f'(x) < 0$, es decreciente.
Extremos Relativos (Máximos y Mínimos): Ocurren donde la derivada se anula ($f'(x_0)=0$). Se usa la segunda derivada para distinguirlos: si $f''(x_0) < 0$ es un máximo, y si $f''(x_0) > 0$ es un mínimo.
Curvatura: Si $f''(x) > 0$, la función es cóncava (forma de ∪). Si $f''(x) < 0$, es convexa (forma de ∩).

Regla de L'Hôpital

Permite resolver indeterminaciones de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando numerador y denominador por separado: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Análisis Matemático

Recursos Adicionales